De Interés : Un viaje por las intrincadas dimensiones de los fractales y el concepto de autosemejanza

En este vídeo 3Blue1Brown titulado Los fractales no son autosemejantes se profundiza sobre algunas ideas relativas a los siempre interesantes fractales y la idea que casi todo el mundo tiene de que «son formas autosemejantes». Porque no todo es siempre como parece y ni los fractales son siempre autosemejantes ni el concepto de dimensión fractal que encaja mejor con su naturaleza es intuitivamente fácil de entender.

Una de las primeras cuestiones que puede sorprender es que la definición de fractal no es algo exacto y preciso: ninguna de ellas está aceptada completa y universalmente, y de hecho varía según los autores. Dado que la idea del vídeo es explicar la peculiaridad de que no todos los fractales son autosemejantes independientemente de la escala a la que se observen, el autor utiliza la definición de Mandelbrot, que viene a decir que

Un fractal es un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.

o, dicho de manera más simple:

Un fractal es una figura cuya dimensión no es un número entero sino una cantidad fraccionaria.

Benoît Mandelbrot, el «padre de los fractales» y autor de esta definición sabía que se quedaba corto, lo cual añadido al hecho de que existen muchos tipos de «dimensiones» para conjuntos y objetos no hace sino complicar el asunto.

Al respecto el vídeo explica con gran detalle y analogías fáciles de entender (1D, 2D, 3D) la idea de dimensión fractal, algo más o menos fácil de calcular y que una vez se conoce casi «salta a la vista». Aunque en formas fractales como en el triángulo de Sierpinski o el copo de nieve de Koch existe esa autosemejanza, no siempre es así. Sin ir más lejos, la arquetípica «línea de costa de Inglaterra» con la que se dice que comenzó todo esto de los fractales no es autosimilar, aunque sí lo es su «rugosidad», por llamarlo de alguna manera.

La parte de final del vídeo explica algunos detalles más que resultan interesantes: cómo calcular las dimensiones de diversas formas pixelando el plano o el espacio e incluso qué sucede con algunas formas que varían de dimensión arriba y abajo según la escala con la que se miren.

Todo esto lleva a una idea más genérica de fractal que incluye que esa rugosidad o irregularidad debe mantenerse en una variación de escala o «reescalado» razonablemente grande (en el caso de la costa de Inglaterra es válida hasta en un factor ×1000) y de ahí a algunos curiosos algoritmos con logaritmos y al hecho no menos curioso de que las formas fractales suelen aparecer en la naturaleza pero no tanto en los objetos fabricados por las personas.

# Enlace Permanente

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January 29, 2017 at 05:06AM

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